浅谈分类讨论思想
发布时间:2013-11-20
来源方式:原创

浅谈分类讨论思想

摘  要:分类讨论具有明显的逻辑特点,覆盖的知识点较多,分类时应正确确定分类的标准,保证既不重复也不遗漏。分类讨论能使某些问题简单化,使隐含的条件变得明显,因此要努力掌握好这种数学思想方法,从而提高解题能力。

关键词:不重复   不遗漏   同一标准

分类讨论思想是解答数学问题的一种重要思想方法和解题策略。它是为了解决因各种因素制约着的数学问题,使原本变幻的不定的问题,分解成若干个相对确定的问题,再各个击破,从而获得完整的解答。而在很多数学概念、公式、法则、性质、定理中都蕴含着分类讨论思想。

分类讨论是人们常用的重要思想方法,无论是在生产活动、科学实验中,还是在日常生活中,都常常需要用到它。这里主要对初中数学中的分类讨论思想作个探讨。

1 分类讨论思想的定义

每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的,这样字母的取值不同也会影响问题的解决,由上述几类问题可知,就其解题方法及转化手段而言都是一致的,即把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想。

2 分类讨论的4大原则

分类讨论必须遵循原则进行,在初中阶段,我们经常用到的有以下4大原则:

2.1同一性原则。分类应按同一标准进行,即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

例2 有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了,因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

事实上,等腰三角形可以是锐角三角形,也可以是直角三角形,还可以是钝角三角形;而钝角三角形、直角三角形、锐角三角形可以是等腰三角形,也可以是不等腰三角形。这样的划分是混乱的。

2.2互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容,即做到各子项相互排斥,也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项,又属于另一个子项。即要做到不重复。

例3 某班有17名同学参加了球类和田径两项比赛,其中有12人参加球类比赛,8人参加了田径比赛。如把这17人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类,这就犯了子项相容和逻辑错误,因为必有3人既参加了球类比赛,又参加了田径比赛。

2.3相称性原则。分类应当相称,即划分后子项外延的总和(并集),应当与母项的外延相等。即要做到不遗漏。

例4 解不等式ax >2a

如果不加区分,得x>2,那就不对了。事实上,既可以a>0,或是a=0,也可以a<0。不同情况下有不同的答案。

当a>0时,则x>2;

当a=0时,原不等式为0•x>0,故不等式无解;

当a<0时,则x<2。

这里将a划分成三类:a>0,a=0,a<0,分别处理,才获得正确的解。

2.4多层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次;多次分类是把分类后所得的子项作为母项,再进行分类,直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂,这时常采用“二分法”[1]来分类,就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类,就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念,一直分到不必再分为止。

例5 对于实数,有以下的正确分类:
 
3、分类讨论的一般步骤

用分类讨论思想解决问题的一般步骤是:

(1) 先明确需讨论的对象的主体;

(2) 正确选择分类的标准;

(3) 分类讨论,逐步解决;

(4) 归纳整合,得出结论。

例6 解方程

对于绝对值的问题,往往要对绝对值符号内的对象区分为正数、负数、零3种,在每种情况下再分别处理:这一方程里出现了两个数的绝对值,即 和 ,对于 应分为x=-2,x<-2,x>-2;对于应区分为x=3与x>3,x<3,把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分为以下3种情形分别处理:x>-2,-2≤x≤3,x>3。得解如下:

当x<-2时,原方程为-(x+2)+3-x=5,得x=-2,这与x<-2矛盾,故在x<-2时方程无解。

当-2≤x≤3时,原方程为x+2+3-x=5恒成立,故满足-2≤x≤3的一切实数x都是此方程的解。

当x>3时,原方程为x+2-(3-x)=5,得x=3,这与x>3矛盾,故在x>3时,方程无解。

综上所述,原方程的解为满足-2≤x≤3的任何实数。

4、分类讨论的常见类型:

掌握用分类讨论思想解题的关键,在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳:

4.1根据数学概念的定义分类

有些数学概念是分类定义的(如实数的绝对值),所以应用这些概念解题时,就需进行分类讨论(如例6那样)。有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制(如二次方程,要求二次项系数不为零),当解题过程的变换需要突破这些限制时,就必须分类讨论。

4.2根据数学运算法则的适用范围分类

有些数学运算的实施需要一定的条件(如零不能作除数,不等式两边同乘以或除以某数时必须考虑正负等等),若在运算中要突破该运算的限制条件,就要进行分类讨论(如例4)。

4.3根据图形的位置变化或形状的变化分类

有些几何问题,因图形的位置不能确定或形状不能确定,就必须分类全面讨论。

例7 已知半径为a的两圆外切,半径为2a且和这两圆都相切的圆共有  个?

此题很容易漏解,原因是缺乏分类思想,因此在解题时要考虑各种可能的情况。和这两圆同时相切的圆可分为以下三类:同时外切有2个;同时内切有1个;以及一个内切一个外切有2个。故共有满足条件的圆5个。如图4所示:


 


图4

4.4根据字母变化分类

某些含有字母的问题,由于字母取值的不同会导致所得结果的不同,或者由于对不同的字母值要运用不同的推演方法,这时就需要根据字母的不同取值进行分类讨论(如例4)。

4.5根据条件的开放分类

有些题目中的条件开放,致使求解结果不唯一,若对这类问题考虑不全面,时常发生漏解现象。

例8 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步,已知环形跑道一圈长400米,乙每秒钟跑6米,甲的速度是乙的 倍。现在甲、乙两人在跑道上相距8米处同时出发,问经过多少秒钟后,两人首次相遇?

本题既不明确甲、乙两人在环形跑道上是同向还是反向跑步,也不知同向跑步时谁在前谁在后,或反向跑步时两人之间的距离是面对面的距离还是对背的距离,所以解题时应分类讨论,逐一求解:

设经过X秒甲、乙两人首次相遇

①若两人同向跑步,且甲在乙的前面8米,则
 ×6x-6x=400-8,解得x=196;

②若两人同向跑步,且乙在甲前面8米,则
 ×6x-6x=8,解得x=4;

③若两人反向跑步,面对面相距8米,则
 ×6x+6x=8,解得x= ;
④若两人反向跑步,且背对背相距8米,则
 ×6x+6x=400-8,解得x=28。
答:略。

当然,这里归纳的几种分类根据不是相互独立的,有时这几种分类根据常常要交叉使用,尤其对一些较复杂的讨论题更是如此。

分类研究的思想方法,可使学生运用已知信息进行开放性的联想,深化对知识的理解,培养学生思维的灵活性、严密性和创造性。此类例题常见于中考试题中,面对这类问题,不少考生感到棘手,丢分现象较为严重,下面再对解分类讨论题的方法作归纳探讨。

5分类讨论的解题方法 

5.1 按实数的性质符号分类

例9  如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式,那么k=   
 。
分析 以实数的性质符号为标准,实数k可分为正实数、零和负实数三类,显见k≠0。有的学生习惯把K认定为正数,轻易填上6,违背了分类思想的“不遗漏”原则。当K=-6时,x2+kxy+9y2也是完全平方式。正确答案应为K=±6。

5.2 按所含字母的取值情况分类

例10 已知实数a、b满足条件:a2-7a+2=0,b2-7b+2=0,求 的值。

分析  由于实数a与b为字母参数,因此它们的取值情况有两种可能a=b、a≠b,应分类求解。

解  当a=b时, =1+1=2;

当a≠b时,设a、b为一元二次方程x2-7x+2=0的两个不等实根,由根与系数关系,得a+b=7,ab=2,

所以 = = = = 。

5.3 按图形的位置关系分类

例11 已知△ABC的边AB=2 ,AC=2,BC边上的高AD= 。

(1)求BC的长;

(2)如果有一个正方形的一边在AB上,另外两个顶点分别在AC、BC上,求这个正方形的面积。

分析 已知三角形两边和第三边上的高,这样的三角形并不是

唯一确定的,此题应有两种情况:垂足D可能在BC上,也可能 
   
在BC延长线上,如图8、9。
①D在BC上,如图8
BD= ,CD= , 
所以BC=BD+CD=4。

②D在BC延长线上,如图9
BC=BD-CD=3-1=2。

 


在第一种情况下,由已知条件,可得BC2=AB2+AC2,
所以△ABC为Rt△,这时存在符合条件的内接正方形,如图10,
设EG=x,则
解得x=3- ,所以S正方形AEFG= =12-6 。
在第二种情况下,也存在符合条件的内接正方形,如图11,
这时△ABC为等腰三角形,AB边上的高 ,
设EF=x,则 ,
解得x= ,所以S正方形EFGH= 。
 
运用分类讨论的思想解题,一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题,另一方面恰当的分类可避免丢值漏解,从而提高全面考虑问题的能力,提高周密严谨的数学教养。

结论

分类讨论几乎渗透到数学中的每一个角落,按初中数学知识体系,主要分布在:代数式中的分类讨论、方程中的分类讨论、不等式中的分类讨论、函数中的分类讨论、应用题中的分类讨论、几何图形(点、线、三角形、四边形、圆)中的分类讨论。分类讨论问题解决的关键是弄清引起分类讨论的原因,明确分类讨论的对象和标准。不同的标准分类的结果也不同,分析其可能产生的诸种情况,并由此展开讨论,做到不遗漏不重复,再将不同结论综合归纳得出正确结果。

参考文献
[1]李雅娣.谈初中数学中的分类讨论思想.中学教研(数学),2005(7)第25-25页
[2]钱荣达,陆树培.分类解题方法初探.中学数学教学,1998(3)第36页
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[4]文正周.分类讨论思想是数学解题的重要策略.数学教学通讯,2000(7)第3-4页
[5]黄培杰.分类思想在数学中考中的应用.中学数学研究,2002增刊第61-63页
[6]赵明铁,谢雅礼.分类讨论解数学开放题.福建中学数学,2003、1第32-33页
[7]刘少平.中考分类讨论问题归类解析.数学教学通讯,2003.3第60-65页